Рівняння Пелля — діофантове рівняння вигляду:
![{\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa46f3504b2da599cb3d99de98a306d3e941ed8e)
де
— додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.
Доведено, що при кожному такому значенні
рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа
раціональними з якомога меншою похибкою.
Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків
У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.
Якщо
— наближені дроби розкладу
у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:
![{\displaystyle x=p_{km-1},\quad y=q_{km-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae37daf1950957c225971d7a4fc8f18d6ffb8df)
де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.
Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:
![{\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ade6d6ece0e6025da4cb8ea984e19852df9548a)
де k — будь-яке ціле, а (х1, у1) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.
Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cac12f20954ea8ac3d493b16f2d69916f40107c)
![{\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6b8a6d45879feeab310a290a9173e49dcca4b7)
Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа
у розширенні
поля
рівна одиниці:
![{\displaystyle N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12829294667f1d5414208b376930d7ae2ccec003)
Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця
. Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам
і
можна поставити у відповідність розв'язки
![{\displaystyle (x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e2eecde5806a97d11e96adca838e54bd34b8a9)
Для рівняння
найменшим додатним розв'язком буде пара чисел
. Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:
![{\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(3+2{\sqrt {2}})^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd286beab4f4cba1096c3db877badc3bc9adce02)
Якщо
— розв'язки, то розв'язками також будуть числа
які можна визначити як
згідно з уведеним вище добутком.
Дійсно:
![{\displaystyle (3x+4y)^{2}-2(2x+3y)^{2}=(9x^{2}+24xy+16y^{2})-2(4x^{2}+12xy+9y^{2})=x^{2}-2y^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c82d004037ed97e34d28f75f877cd6a0948d5d9)
- Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — Москва: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0
- Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291 .